知识点总结与练习题
核心概念 (Core Concept)：多项式是具有正整数指数的有限表达式。
公式 (Formula)：\(f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0\)
定义 (Definition)：多项式长除法是除多项式的基本方法，类似于数字的长除法。
应用场景 (Application)：适用于 \((x \pm p)\) 和 \((ax \pm b)\) 形式的除数。
题目：将 \(x^3 + 2x^2 - 17x + 6\) 除以 \((x - 3)\)
解题步骤说明：
题目：求 \(2x^3 - 5x^2 - 16x + 10\) 除以 \((x - 4)\) 的余数
解题步骤说明：
求下列多项式除法得到的商：
a) \((x^3 + 2x^2 - x - 2)\) 除以 \((x + 1)\)
b) \((x^3 + 2x^2 - 9x + 2)\) 除以 \((x - 2)\)
c) \((20 + x + 3x^2 + x^3)\) 除以 \((x + 4)\)
答题区域：
求下列多项式除法得到的商和余数：
a) \((x^3 + 8x^2 + 17x + 16)\) 除以 \((x + 5)\)
b) \((x^3 - 15x^2 + 61x - 48)\) 除以 \((x - 7)\)
c) \((3x^3 + 4x^2 + 7)\) 除以 \((2 + x)\)
答题区域：
使用因式定理确定下列多项式是否为因式：
a) \((x - 1)\) 是否是 \((x^3 + 2x^2 - 2x - 1)\) 的因式？
b) \((x + 2)\) 是否是 \((x^3 - 5x^2 - 9x + 2)\) 的因式？
c) \((x - 3)\) 是否是 \((x^3 - x^2 - 14x + 27)\) 的因式？
答题区域：
设 \(f(x) \equiv x^3 - 2x^2 - 11x + 12\)
a) 证明 \((x - 1)\) 是 \(f(x)\) 的因式
b) 因此，将 \(f(x)\) 表示为三个线性因式的乘积
答题区域：
a) \((x^3 + 2x^2 - x - 2) \div (x + 1)\)
商：\(x^2 + x - 2\)，余数：\(0\)
因此：\(x^3 + 2x^2 - x - 2 = (x + 1)(x^2 + x - 2)\)
b) \((x^3 + 2x^2 - 9x + 2) \div (x - 2)\)
商：\(x^2 + 4x - 1\)，余数：\(0\)
因此：\(x^3 + 2x^2 - 9x + 2 = (x - 2)(x^2 + 4x - 1)\)
c) \((20 + x + 3x^2 + x^3) \div (x + 4)\)
首先重写：\(x^3 + 3x^2 + x + 20\)
商：\(x^2 - x + 5\)，余数：\(0\)
因此：\(x^3 + 3x^2 + x + 20 = (x + 4)(x^2 - x + 5)\)
a) \((x^3 + 8x^2 + 17x + 16) \div (x + 5)\)
商：\(x^2 + 3x + 2\)，余数：\(6\)
b) \((x^3 - 15x^2 + 61x - 48) \div (x - 7)\)
商：\(x^2 - 8x + 5\)，余数：\(-13\)
c) \((3x^3 + 4x^2 + 7) \div (x + 2)\)
商：\(3x^2 - 2x + 4\)，余数：\(-1\)
a) \((x - 1)\) 除以 \((x^3 + 2x^2 - 2x - 1)\)
余数：\(0\)，因此：是的，\((x - 1)\) 是因式
b) \((x + 2)\) 除以 \((x^3 - 5x^2 - 9x + 2)\)
余数：\(-8\)，因此：不，\((x + 2)\) 不是因式
c) \((x - 3)\) 除以 \((x^3 - x^2 - 14x + 27)\)
余数：\(0\)，因此：是的，\((x - 3)\) 是因式
a) 证明 \((x - 1)\) 是 \(f(x)\) 的因式
\(f(x) \div (x - 1) = (x^3 - 2x^2 - 11x + 12) \div (x - 1)\)
商：\(x^2 - x - 12\)，余数：\(0\)
因此：\((x - 1)\) 是因式
b) 将 \(f(x)\) 表示为三个线性因式的乘积
由于：\(f(x) = (x - 1)(x^2 - x - 12)\)
因式分解：\(x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3)\)
因此：\(f(x) = (x - 1)(x - 4)(x + 3)\)